Zusammenfassung

Ausgangspunkt für diese Diplomarbeit war eine im Juli 1993 erschienene Arbeit von Petschel und Geisel, in der der Hamiltonoperator für Elektronen in einem zweidimensionalen, periodischen Potential und einem konstanten "rationalen" (s. 1.4) Magnetfeld numerisch diagonalisiert wird. Dieses Problem ist in den letzten Jahren wiederentdeckt worden, nachdem Hofstadters Prognose, nach der seine kuriosen numerischen Ergebnisse (Schmetterlinge) erst bei Magnetfeldern ab 100 kT (bei Gitterabständen um 2 Å) physikalisch relevant wären, durch die Herstellung mesoskopischer Systeme (Gitterabstände um 80 nm) überwunden werden konnte.

Parallel zum physikalischen ist auch das mathematische Interesse an dieser quantenmechanischen Aufgabe gewachsen, da hier außergewöhnliche Energiespektren auftreten, was auf besondere Eigenschaften der beteiligten Operatoralgebren (Rotationsalgebren) zurückzuführen ist.

Um sich dem Spektrum des Schrödinger-Operators mit periodischem Magnetfeld und elektrischem Potential zu nähern, schlagen wir verschiedene Wege ein:

• In Kapitel 1 geben wir einen Rückblick auf die bekannten Grenzfälle Landauniveaus und Blochtheorie, deren Betrachtung zusammen mit den Versuchen einer magnetischen Blochtheorie die auftretenden Probleme (magnetische Translationen bilden keine Gruppe) und möglichen Auswirkungen (Cantorspektren) zeigt.
• In Kapitel 2 diskutieren wir die bekannten numerischen Ergebnisse für das diskrete Harpermodell, diskrete Modelle in anderen Gittersymmetrien und für ein kontinuierliches Modell.
• In Kapitel 3 untersuchen wir die physikalische Relevanz der diskreten Modelle im Bereich der mesoskopischen Systeme, die für die zur Zeit erreichbaren Magnetfelder gerade die geeignete Größenordnung besitzen, um - falls unsere Modelle anwendbar sind - interessante Effekte zu zeigen.
• In Kapitel 4 stellen wir eine Methode zur Behandlung des Harpermodells vor, die speziell aus den Eigenschaften der Rotationsalgebra, also aus den durch das Magnetfeld induzierten Eichsymmetrien, zu detaillierten Ergebnissen für den Fall rationalen Flusses gelangt, die zusammen mit den nötigen Stetigkeitseigenschaften Erkenntnise für den Fall einer bestimmten Klasse von irrationalen Zahlen ermöglichen.
• In Kapitel 5 zeigen wir zunächst die Relevanz der diskreten Modelle in den geeigneten Grenzfällen der kontinuierlichen Modelle. Im Rest des Kapitels beschäftigen wir uns mit eichperiodischen elliptischen Differentialoperatoren, die gerade eine Abstrahierung der wesentlichen Eigenschaften unseres Problems darstellen.
• In Kapitel 6 geben wir einen kurzen Überblick über die vielen offenen Fragen und verwandten Themen unseres Gebiets.
• In Anhang A formulieren wir die Maxwellschen Gleichungen mit Hilfe von Differentialformen auf pseudoriemannschen Mannigfaltigkeiten. Abgesehen von der Ästhetik dieser Schreibweise klärt dieser Zugang die topologischen Voraussetzungen für die Existenz von Skalar- und Vektorpotentialen und motiviert die Deutung des axialen Magnetfeldvektors als 2-Form.
• In Anhang B beschreiben wir die Grundlagen für die numerische Lösung von Harpers Gleichung im rationalen Fall. Um aus der Numerik geeignete Hinweise für die Theorie zu erhalten, ist insbesondere eine Auseinandersetzung mit den spezifischen Eigenschaften der verschiedenen Algorhitmen und eine Untersuchung des Einflusses der numerischen Parameter angebracht.
• In Anhang C stellen wir die wichtigsten Begriffe und einige Ergebnisse aus der K-Theorie der C*-Algebren zusammen.
• In Anhang D konstruieren wir rationale Näherungen für irrationale Zahlen, teilen letztere in Klassen unterschiedlicher Approximierbarkeit ein und messen deren Größe, um ein Kriterium für eine Wertung des Gültigkeitsbereichs der verschieden mathematischen Methoden zu haben.