Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit ``Nichtkommutative Blochtheorie'' beschäftigen wir uns mit der Spektraltheorie bestimmter Klassen von Hilbertraumoperatoren, den elliptischen Operatoren auf Darstellungsräumen von Hilbert-C*-Moduln. Die auftretenden C*-Algebren kodieren dabei Symmetrieeigenschaften der entsprechenden Operatoren. Für kommutative Symmetrien ist die Blochtheorie ein geeignetes Hilfsmittel. Wir schildern diese Methode zunächst in einem geometrischen Kontext, der allgemein genug ist, um die bekannten Ergebnisse über die Abwesenheit singulärstetigen Spektrums im Hinblick auf physikalische Anwendungen zu erweitern. Wir lassen uns dann durch eine Neuinterpretation der Blochtheorie aus einem nichtkommutativen Blickwinkel inspirieren zur Entwicklung einer nichtkommutativen Blochtheorie. Dabei werden bestimmte Eigenschaften von C*-Algebren verknüpft mit Eigenschaften des Spektrums elliptischer Operatoren. Diese Blochtheorie für Hilbert-C*-Moduln erlaubt es, verschiedene bekannte Resultate aus dem Bereich kommutativer (diskreter und kontinuierlicher) Geometrien mit nichtkommutativen Symmetrien in einem neuen gemeinsamen Rahmen zusammenzufassen, der Raum läßt für Modelle nichtkommutativer Geometrien mit nichtkommutativen Symmetrien. Wichtigstes Beispiel für die behandelte Klasse von Operatoren in der mathematischen Physik sind die Schrödingeroperatoren mit periodischem Magnetfeld und Potential. Wir ordnen sie in den Rahmen kommutativer und nichtkommutativer Blochtheorie ein und wenden die zuvor bereitgestellten Methoden an.